Le produit des premiers (n) entiers positifs est désigné comme (n!), Qui est défini comme (n! = N \ Times (n - 1) \ Times (n-2) \ Times \ cdots \ Times1). Dans notre cas, nous sommes intéressés par le produit des premiers entiers positifs de 174386, c'est-à-dire (174386!).
Comprendre les factoriels
Les factoriels sont un concept fondamental en mathématiques, en particulier dans la combinatoire et la théorie des probabilités. Pour les petites valeurs de (n), le calcul (n!) Est simple. Par exemple, (5! = 5 \ Times4 \ Times3 \ Times2 \ Times1 = 120). Cependant, à mesure que (n) devient plus grand, la valeur de (n!) Génére extrêmement rapidement.
Pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle les factoriels se développent, considérez ce qui suit: Le nombre de chiffres de (n!) Peut être approximé en utilisant l'approximation de Stirling. La formule d'approximation de Stirling est (n! \ Approx \ sqrt {2 \ pi n} (\ frac {n} {e}) ^ n), où (e \ approx2,71828) est la base du logarithm naturel.
Prenant le logarithme commun (base - 10) des deux côtés de l'approximation de Stirling, nous avons (\ log_ {10} (n!) \ Approx \ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ pi n) + n \ log_ {10} (\ frac {n} {e})).
Pour (n = 174386), calculons une approximation du nombre de chiffres. D'abord, (\ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ pi \ Times174386) \ approx \ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ Times3.1415 9 \ Times174386) \ approx \ frac {1} {2} \ log_ {10} (1.096 \ Times10 ^ {6}) \ approx \ frac {1} {2} (6 + \ log_ {10} (1.096)) \ approx3).
Et (n \ log_ {10} (\ frac {n} {e}) = 174386 \ Times \ Log_ {10} (\ frac {174386} {2.71828}) \ Environ174386 \ Times \ Log_ {10} (64153.7) \ approx174386 \ Times4.807 \
SO, (\ log_ {10} (174386!) \ Approx3 + 838770 = 838773). Cela signifie que (174386!) A environ 838773 chiffres.
Implications et applications pratiques
Dans les scénarios réels - mondiaux, les factoriels sont utilisés dans divers domaines. En combinatoire, (n!) Représente le nombre de façons d'organiser (n) des objets distincts dans une séquence. Par exemple, si vous avez (n) des livres sur une étagère, il existe (n!) Différentes façons de les commander.
Dans la théorie des probabilités, les factoriels sont utilisés pour calculer les permutations et les combinaisons. Par exemple, le nombre de permutations d'objets (r) choisis parmi (n) des objets distincts est donné par (p (n, r) = \ frac {n!} {(N - r)!}).
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Références
- "Mathématiques concrètes: Foundation for Computer Science" de Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik.
- "Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et les sciences" par Jay L. Devore.
